爪が剥がれかけています。病院には行くべきですか？

先週の金曜日、出先で扉を開けた際、右足親指にぶつかりました。
サンダルを履いていたためとても痛く、見てみると爪の右側から出血していました。
よく見てみると、爪の内側からも出血していて、爪を触ったらグラッと動きました。
爪は負傷しなかった左側だけでくっついている状態です。
ネットで検索すると、病院に行っても大したことはしないみたいに書いてあったので、自宅で消毒し絆創膏を貼っていました。
2日くらいしてから、血ではなく黄色い汁？のようなものが絆創膏につくようになりました。
このまま消毒しながら病院に行かなくてもいいのか、行った方がいいのか悩んでいます。
行く場合は何科へ行った方がいいでしょうか？